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In matematica i numeri naturali sono numeri usati per ordinare e per contare. Essi possono essere ricavati dalla teoria degli insiemi in diversi modi. Ad esempio definendo il singoletto {a} e un operatore di creazione ∁ che "neghi" l'elemento per cui si costruisce la partizione complementare ∁{a}={a,a̅}. In questo tipo di insiemi dire che a≠a̅ implica che a̅ è non-a, ovvero il suo complementare, e un terzo elemento è escluso.
Ho già trattato ampiamente di questo linguaggio dal punto di vista filosofico ma è qui utile dare delle definizioni formali.
Si consideri l'insieme A={a,b}. Se a e b, oltre ad essere due elementi distinti, sono anche due aspetti semanticamente opposti e tra loro complementari di un sistema allora a≠b⟶b=a̅.
Infatti a̅=A-{a}={a,b}-{a}=b.
Ma è anche vero che b=a̅⟶a≠b, perché per assurdo se a=b e b=a̅ allora a=a̅, ovvero l'elemento sarebbe il contrario di sé stesso. Infatti si avrebbe A={a,a} da cui a̅=A-{a,a}=∅, quindi nell'insieme A non esiste tale elemento, ∄a=a̅.
Da questi due lemmi si ha la doppia implicazione a≠b ↔ b=a̅, per cui dire che a è diverso da b implica che b è il complementare logico e semantico di a e viceversa. Da questo si deduce che la forma naturale degli insiemi logicamente coerenti è A={a,a̅}.
Per fare un esempio, se B è lo stato di un bicchiere d'acqua,
B={vuoto, pieno} è una partizione complementare logicamente coerente, mentre B={pulito, vuoto} non lo è, in quanto si tratta di aspetti diversi ma non complementari seppur del medesimo oggetto.
Il terzo lemma che stabilisce la coerenza logica degli insiemi è il principio del terzo escluso.
Supponiamo che ci sia posto per un terzo elemento a˟ nell'insieme A, cioè A={a,a̅,a˟}. Dalla definizione a̅=A-{a}={a̅, a˟} ma se a˟≠a̅ allora si introduce un'ambiguità semantica per cui l'uguaglianza è errata e non può esistere tale elemento, cioè ∄ a˟∈A.
Si potrebbe pensare che un tale tipo di formalismo non contempli le possibili sfumature della realtà che si vuole descrivere. Se un bicchiere è mezzo pieno, o per i pessimisti come me mezzo vuoto, allora si avrà che B'={{vuoto, pieno}, mezzo pieno}, dove "mezzo pieno" rappresenta la negazione di B={vuoto, pieno}, cioè né vuoto né pieno, conservando la struttura auto-similare di complementarietà tra i ricoprimenti dell'insieme. Formalmente reitero il processo mediante l'operatore di creazione ∁∁{a}=∁{a,a̅}={{a,a̅},¬{a,a̅}}, dove ¬ rappresenta la negazione.
Consideriamo il singoletto {0} come la nullità matematica, cioè l'assenza di quantità e rinominiamolo "atomo" del nostro processo. Abbiamo che ∁{0}={0,0̅}={0,1}, per cui se zero è l'assenza di quantità, uno è la presenza di quantità. Reiterando questo processo
∁∁{0}=∁{0,1}={{0,1},¬{0,1}}={{0,1},{2}} e così via {...{{{0,1},{2}},{3}}...}.
Allora ∁∁∁∁...∁∁{0}=∁ⁿ{0}=Nₙ={Nₙ₋₁,{n}}, dove l'apice ⁿ indica quante volte è stato ripetuto il simbolo di negazione complementare ∁ che crea le partizioni, ovvero l'operatore di creazione che amplia gli insiemi logicamente coerenti.
Per ottenere il singolo numero occorre sottrarre {n}=∁ⁿ{0}-∁⁽ⁿ⁻¹⁾{0}.
Ad esempio, se N₃={N₂,{3}}=∁³{0}, il numero 3 si ottiene come
∁³{0}-∁²{0}={{{0,1},{2}},{3}}-{{0,1},{2}}={3}.
Si può anche invertire il processo con un "operatore di distruzione" degli insiemi che li riduce invece che ampliarli: ∁⁻¹{0,1}={0,1}-{1}={0}, tale che sia idempotente sul singoletto ∁⁻¹{0}={0}, per cui si avrà che ∁⁻ⁿNₙ={0}. Ad esempio: ∁⁻²{{0,1},{2}}=∁⁻¹({{0,1},{2}}-{2})=∁⁻¹{0,1}={0}.
All'infinito, cioè per n=∞, avremo ∁⁽∞⁾{0}=N₍∞₎=ℕ e inversamente
∁⁽⁻∞⁾ℕ={0}, dove ℕ rappresenta l'insieme dei numeri naturali:
ℕ ={0,1,2,3,4,...}.
Se mi è lecito scrivere che ℕ=ℕ₍∞₎={ℕ₍∞₋₁₎,{∞}}, allora l'elemento infinito, più un concetto che un dato numero, tende a "sfuggire" all'insieme infinitamente grande ℕ₍∞₋₁₎.
In matematica l'infinito è la tendenza di un oggetto ad essere sempre più grande. Pensa a una quantità immensa: ecco, l'infinito la supera, è una quantità sempre più grande di qualcosa di enorme che tu hai immaginato. È un po' come l'orizzonte: riusciamo a vederlo, ma quando noi ci avviciniamo esso si sposta mantenendo la sua posizione. Dire che due curve si toccano all'infinito è come dire che non si toccano mai, ma che si avvicinano asintoticamente sempre di più. Mi piace immaginare una strada in prospettiva che si perde all'orizzonte: la prospettiva ci dà l'illusione che i bordi si tocchino nel punto di fuga, ma percorrendola ci avviciniamo e vediamo che in realtà non è così.
Se esiste l'infinito, esiste anche il suo complementare: l'infinitesimo, ciò che tende a zero per cui abbiamo la partizione {{0},{∞}}. L'infinitesimo è una quantità piccolissima, ma quanto piccola? Stabilita comunque e arbitrariamente una quantità piccola a piacere, l'infinitesimo è una quantità sempre più piccola della piccolissima quantità scelta.
Mi ricordo che quando ero piccolo non mi capacitavo di certi concetti. Una volta chiesi a mia nonna, che era una donna saggia che nella sua vita ha letto una quantità di libri che io non leggerò mai, come facessero i numeri a essere infiniti. E lei mi rispose di pensare a un numero grande e poi di aggiungerne uno. Allora intravidi una luce, diciamo così. Poi le chiesi se lo zero fosse il nulla e lei mi rispose che era più simile al "vuoto matematico" ma anche un numero a tutti gli effetti con delle proprietà, perché il nulla non è solo l'assenza di quantità, ma anche l'assenza del pensiero stesso di quantità. Siccome non riuscì a capire mi raccontò una storia illuminante. C'era un maestro di musica non vedente dalla nascita che lei conosceva e un giorno un suo ammiratore indiscreto gli chiese se, essendo cieco, vedesse nero. Allorché lui rispose: "Mi scusi, ma se io sono cieco fin dalla nascita, non vedo né bianco, né nero, o nessun'altro colore! Io non vedo, cioè vedo il nulla!"
Riassumendo e ricapitolando, quello che si evince è che l'entità numerica fondamentale, nonostante il suo carattere intuitivo, può essere derivata da un processo logico-insiemistico. In questo caso ho proposto l'approccio originale delle partizioni complementari di cui ho già parlato in questa raccolta.
Dopo questa introduzione che in qualche modo collega quantità e qualità, nella quale a partire dallo zero e aggiungendo una unità si costruisce l'insieme dei numeri naturali, passiamo a definire le operazioni come funzioni che associano ad una coppia di numeri un terzo numero.
L'operazione ∁{0}={0}∪{1}={0,1}, dalla quale {1}=∁{0}-{0}, può essere riassunta come 0+1=1: ogni volta che si applica l'operatore ∁ si trova un insieme che contiene il successivo dell'ultimo elemento di grado inferiore. Risulta in questo caso pratico rappresentare l'insieme dei numeri naturali privi dello zero evitando la complessità della nidificazione come ℕ*={1,2,3,...} e farlo corrispondere in maniera biunivoca ad un insieme di elementi distinti A={a,b,c,...}. Consideriamo dunque due insiemi tali che la loro intersezione sia vuota, A∩B=∅, ad esempio A={a,b,c} e B={d,e}. L'unione S=A∪B={a,b,c,d,e} corrisponde nei numeri naturali a {1,2,3,4,5}, mentre A a {1,2,3} e B a {1,2}. Siccome dall'unione tra un insieme con tre elementi e uno con due elementi si genera un insieme con cinque elementi, per cui la cardinalità dell'insieme S è #(S)=5, riassumiamo questa operazione con 3+2=5.
Partendo quindi dalla definizione di somma tra due numeri naturali, a+b=c, abbiamo anche la definizione dell'operazione inversa dell'addizione, ovvero la sottrazione. Se a+b=c, allora a=c-b. Se sommo b volte a a sé stesso, (a+a+a+⋯+a)₍b volte₎, allora posso definire la moltiplicazione come prodotto di due fattori c=a⋅b, quindi l'operazione inversa, la divisione, per cui a=c∶b. In particolare, definiamo la divisione euclidea, ovvero la divisione con resto: a∶b=q resto r, per cui a=b⋅q+r, dove r<b. Un'operazione derivata dalla moltiplicazione è l'elevamento a potenza: (a⋅a⋅a⋅...⋅a)₍n volte₎=aⁿ dove a è la base e n l'esponente.
Tornando al formalismo con il quale abbiamo definito i numeri naturali, possiamo estenderlo per esprimere l'insieme dei numeri razionali, dove l'appellativo "razionale" nasce da "ratio", cioè "rapporto", ovvero quei numeri che si generano come rapporto di numeri interi. In sostanza parliamo dei numeri decimali periodici e non periodici finiti, come 1/3=0,333333... e 1/4=0,25.
Avevamo definito all'inizio della trattazione ℕ=∁⁽∞⁾{0}={0} mediante una notazione di insiemi "nidificati". Ora definiamo l'insieme degli inversi dei numeri naturali ℕ⁻¹=∁⁽∞⁾{1}, dove la seguente notazione sta a significare, partendo dal singoletto {1}, che: ∁{1}={1,1̅}={1,1/2}, quindi ∁{1,1/2}={{1,1/2},¬{1,1/2}}={{{1,1/2},1/3}}=∁²{1}, per cui:
∁ⁿ{1}={...{{{1,1/2},1/3}...},{1/(n+1)}} che giustifica la scrittura
ℕ⁻¹=∁⁽∞⁾{1}={...{{{1,1/2},1/3}...},0}, in quanto 1/(n+1)→0 per n→∞.
Il significato di questa scrittura richiama il concetto di infinito e infinitesimo. Per n sempre più grandi, quindi per n tendente ad infinito, la frazione 1/(n+1) diventa infinitesima, cioè tende a zero. Basta provare a dividere l'unità per quantità sempre più grandi: si otterranno numeri sempre più piccoli, per cui se idealmente dividiamo per infinito otteniamo zero. Avremo che se {1̅}={1/2}, allora ∁⁽⁻∞⁾{0}={1}, cioè:
∁⁽⁻∞⁾ ℕ⁻¹={1} in quanto il nostro atomo è in questo caso il singoletto {1}.
Ora che abbiamo tutti i possibili denominatori e avendo definito le operazioni fondamentali, non resta che "moltiplicare" per tutti i possibili numeratori per ottenere l'insieme delle frazioni ℚ⁺. Pertanto possiamo simbolicamente scrivere: ℚ⁺=ℕ*ℕ⁻¹. Elementi del tipo 1/2, 3/5, 11/6 appartengono a ℚ⁺. Ciò che sostanzialmente abbiamo fatto è stato moltiplicare tutti numeri naturali come 0,1,2,3, eccetera, con tutti i loro inversi 1,1/2,1/3, eccetera, per ottenere tutte le infinite frazioni possibili, perché ad esempio 2*1/3=2/3 e in generale n*1/m=n/m dove n ed m sono due interi positivi.
Tutti quanti abbiamo presente i numeri con segno ad esempio quando parliamo di temperature, quote altimetriche, conti bancari, sport. Ebbene, al fine di esprimere l'insieme dei numeri interi con segno, ovvero l'insieme dei numeri relativi ℤ, possiamo suddividerlo in numeri interi positivi ℤ⁺=∁⁽∞⁾{0⁺}, dove (0⁺)̅=+1, per cui:
∁{0⁺,+1}={{0⁺,+1},¬{0⁺,+1}}={{{0⁺,+1},+2}}=∁²{0⁺} e così via. Lo stesso faremo con ℤ⁻=∁⁽∞⁾{0⁻}, in quanto (0⁻)̅=-1, per cui:
{0⁻,-1}={{0⁻,-1},¬{0⁻,-1}}={{{0⁻,-1},-2}}=∁²{0⁻} e così via. Non resta che unire l'insieme dei numeri negativi con quello dei numeri positivi per ottenere l'insieme dei numeri interi: ℤ=ℤ⁻∪ℤ⁺ , cioè
ℤ={...,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,...}. Dall'insieme ℤ otteniamo l'insieme dei numeri razionali, cioè delle frazioni con segno, che sarà dato dal "prodotto": ℚ=ℤ⋅ℕ⁻¹ dove un sottoinsieme F⊂ℚ potrà contenere elementi del tipo:F={+1/6,-2/3,+7/4,-9/2}.
Dal momento che, dati due numeri a,b∈ℚ, possiamo sempre trovare il numero intermedio: c=(a+b)/2 l'insieme ℚ si definisce "denso". A differenza dei numeri interi, tra due numeri razionali qualsiasi ne esiste sempre un altro, e questo processo può essere reiterato all'infinito. In altre parole, tra ogni coppia di numeri razionali, per quanto vicini essi siano, si può sempre trovare un numero razionale intermedio. Tuttavia, poiché generati dalla composizione ℚ⁺=ℕ⋅ℕ⁻¹, essi sono in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, ovvero sono un "infinito numerabile", cioè "un infinito che si può contare", e per questo motivo sono un "insieme di misura nulla" sulla retta reale. Ciò significa che se metto in fila tutti i punti che rappresentano l'insieme ℚ, ottengo una lunghezza pari a zero.
Per capire questo, poniamoci sulla retta orientata su cui giacciono i numeri e circondiamo ogni numero razionale con un piccolo intervallo di larghezza arbitraria ε/2ⁿ, dove ε (epsilon) è un numero molto piccolo e n è l'indice di enumerazione dei numeri razionali rₙ che, come abbiamo visto mediante il formalismo delle partizioni complementari, possiamo elencare: r₁, r₂, r₃, ...
Dobbiamo ora sommare la lunghezza di tutti gli infiniti intervalli:
L = ε/2¹ + ε/2² + ε/2³ + ⋯ =?
Intuitivamente uno potrebbe pensare che una somma di infiniti termini diverga ad infinito, ma non è sempre così se i numeri si fanno sempre più piccoli, per cui si può convergere ad un valore finito. In questo caso non è difficile dimostrare, scrivendola in forma iterativa e incapsulata come le partizioni, che tale sommatoria dà esattamente L= ε.
Sia |q| < 1, condizione per cui la serie converge; scriviamo:
1 + q + q² + ⋯ + qⁿ = 1 + q(1 + q(1 + q ... (1 + q)) ...)
da cui la formula ricorsiva:
Qₙ₊₁ = 1 + qQₙ
con Q₀ = 0. Il senso di questa formula è che per n = 0:
Q₁ = 1 + qQ₀ = 1 + q ∙ 0 = 1 + 0 = 1
Per n = 1:
Q₂ = 1 + qQ₁ = 1 + q ∙ 1 = 1 + q
Per n = 2:
Q₃ = 1 + qQ₂ = 1 + q ∙ (1 + q) = 1 + q + q²
e così via.
Per calcolare la somma della serie infinita il trucco sta nel porre
n + 1 ≈ n = ∞, passaggio lecito in quanto per un numero molto grande aggiungere l'unità non cambierà un granché e ∞+1 è sempre infinito. Quindi, con qualche passaggio algebrico
Q₍∞₎ = 1 + qQ₍∞₎ ⟹ Q₍∞₎ - qQ₍∞₎ = 1 ⟹ (1 - q)Q₍∞₎ = 1
si conclude che la somma della serie infinita è Q₍∞₎ = 1 / (1 - q).
In questo caso, la ragione della serie geometrica è q = 1/2, da cui
Q₍∞₎ = 2, e poiché il primo termine deve essere sottratto in quanto non presente nel nostro calcolo, 2-1=1, otteniamo proprio
L = ε (1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + ⋯) = ε ∙ 1 = ε.
Restringendo la larghezza di ogni intervallo ai singoli punti, per cui
ε ⟶ 0 (si legge "epsilon tende a zero") si ha dunque L = 0: l'insieme dei numeri razionali ha misura nulla, il che significa che "non occupano spazio" sulla retta reale, nonostante siano densi.
Consideriamo ora i numeri
√2 = 1,414213562373...
π = 3,1415926535897...
e = 2,7182818284590...
Questi sono numeri decimali "non periodici" e rappresentano i cosiddetti "numeri irrazionali", ovvero numeri che non possono essere espressi come frazione (ratio).
- √2, chiamato anche "costante di Pitagora", è un numero irrazionale "algebrico", poiché è generato dall'operazione di radice quadrata e rappresenta la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario.
- π, chiamato "pi greco", è un numero "trascendente", cioè non esprimibile mediante radici, ed è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.
- e, detto numero di Nepero, è un numero irrazionale trascendente ed è la base dei logaritmi naturali, definita in diversi modi, ad esempio:
e = (1+1/n)ⁿ, con n ⟶ +∞.
L'unione tra i numeri razionali e i numeri irrazionali genera l'insieme dei "numeri reali", per cui un intervallo [0,1] ha misura unitaria e non nulla. Questo è dovuto al fatto che ora la nostra retta orientata non ha più "buchi" e di fatto l'infinito dei numeri reali è più grande di quello dei numeri razionali.
Per immaginarlo, possiamo rifarci alla definizione di "distanza" tra due punti x, y ∈ ℝ sulla retta reale:
d = |x - y| (valore assoluto della differenza tra i due valori x e y)
con le seguenti proprietà:
1. d(x,y) ≥ 0 (la distanza è una quantità definita non negativa)
2. d(x,y) = 0 ⇔ x = y (è nulla se i due punti coincidono)
3. d(x,y) = d(y,x) (la distanza tra x e y è uguale alla distanza tra y e x)
4. d(x,y) = d(x,z) + d(z,y), con x < z < y (la distanza tra x e y è pari alla distanza tra i due punti e un punto intermedio z).
Prendiamo il punto x come singoletto e applichiamo l'operatore di creazione:
∁(x) = {x, x̅} = {x, y}
dove y ⟶ x (y tende a x), per cui, per la seconda proprietà della distanza, d(x,y) ⟶ 0, cioè la distanza è infinitesima. I punti sono infinitamente vicini, ma restano due entità distinte, tali per cui, per l'ultima proprietà della distanza, esiste sempre un punto z compreso tra loro. Possiamo quindi "spacchettare" {x, y} in: {{x, z}, {y}} e se applichiamo l'operatore di distruzione dell'insieme, otteniamo: {x, z} che riscriviamo ancora come: {{x, t}, {z}} da cui: ∁⁻¹{x, z} = {x, t}. All'infinito avremo che: ∁⁽⁻∞⁾{x, y} = {x, x'} ≠ {x} pertanto non abbiamo riottenuto il nostro singoletto iniziale x. Questo significa che l'infinito di ℝ è più grande dell'infinito di ∁, che cresce come quello dell'insieme ℕ. Pertanto non possiamo scrivere ℝ nella notazione fin qui usata per gli altri insiemi numerici, ma soltanto in una forma implicita tipo:
{∞}₍ℝ₎ > {∞}₍ℕ₎ che sta a significare che l'infinito dei numeri reali è più grande di quello dei numeri naturali.
Si potrebbe obiettare che una simile argomentazione si potrebbe applicare a qualsiasi insieme denso, come ℚ. A tal proposito consideriamo l'intervallo I=[0,1] e i punti alla frontiera a=0, b=1. Scriviamo secondo il formalismo degli insiemi partendo dal singoletto {0} l'insieme ∁{0}={0,1}. Secondo quanto detto nel paragrafo precedente, tra a e b in ℚ si può sempre trovare un punto che sta esattamente a metà tra i due e reiterare il processo all'infinito, per cui spacchettiamo: {0,1} ⟶ {{0,1/2},1} e applichiamo l'operatore di distruzione:
∁⁻¹ {{0,1/2},1} = {0,1/2}. Spacchettiamo ancora prendendo il punto medio: {{0,1/4},1/2}, da cui ∁⁻¹ {{0,1/4},1/2} = {0,1/4}, ovvero:
∁⁻² {0,1} = {0,1/2²}. Generalizzando, ∁⁻ⁿ {0,1} = {0,1/2ⁿ} e dunque all'infinito: ∁⁽⁻∞⁾ {0,1} = {0} dal momento che 2⁻ⁿ ⟶ 0 per n ⟶ +∞.
Diversamente da prima, svelando l'impacchettamento degli insiemi e mediante la loro decostruzione, abbiamo ritrovato il singoletto iniziale {0}. Si noti che sul continuo non è possibile riprodurre questo processo numerabile, per cui non si ritrova il singoletto iniziale vero e proprio reiterando la media, ovvero con un numero "infinito contabile" di passi, se non come limite e punto di accumulazione (un punto a cui ci si avvicina senza mai raggiungerlo).
In sintesi, non potendo scrivere come partizione complementare l'insieme ℝ, a differenza di ℚ, concludiamo che l'infinito dei numeri reali è un infinito non numerabile, ovvero i numeri reali non possono essere contati.
Ci tengo a specificare che questo non determina un totale fallimento del formalismo delle partizioni complementari, in primis perché nella pratica si usano valori approssimati e quindi finiti dei numeri irrazionali. In secondo luogo ogni numero irrazionale può essere rappresentato da una serie numerica o da una frazione continua, che sono processi infinito numerabili come quelli che generano le partizioni. Ad esempio π, spesso approssimato nei calcoli pratici con 3,14, trova rappresentazione nella serie di Leibniz
π = 4 (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...)
mentre √2 può essere rappresentata mediante la frazione continua
√2 = [1; 2, 2, 2, 2, ...].
Entrambe possono essere espresse da relazioni ricorsive che richiamano il formalismo delle partizioni complementari.
A tal proposito proporrei un esempio riguardo la sezione aurea che è un numero irrazionale, la divina proporzione matematica della bellezza che tocca ogni ramo della scienza e di tutte le arti, poesia compresa.
Introduciamo per questo scopo l'operatore Dⁿ = ∁ⁿ - ∁⁽ⁿ⁻¹⁾, per cui ad esempio D²{0} = ∁²{0} - ∁¹{0} = {{0,1},2} - {0,1} = {2}. Questo ci permette di ottenere l'ultimo elemento dell'insieme logicamente coerente, ovvero la partizione di destra, detto brutalmente.
Prendiamo come atomo il singoletto {¬(x+1/x)} e stabiliamo la relazione di ricorrenza: ∁ⁿ{¬(x+1/x)} = {fₙ, x + 1 / (D⁽ⁿ⁻¹⁾ fₙ)}.
Questo comporta che: ∁{¬(x+1/x)} = {x, x+1/x}, quindi:
∁²{¬(x+1/x)} = {{x, x+1/x}, x+1/D{x, x+1/x}} = {{x, x+1/x}, x+1/(x+1/x)} e così via. Risolvendo una semplice equazione di secondo grado nella variabile fₙ per n ≈ n + 1 = ∞, si ha che:
D⁽∞⁾ {¬(x+1/x); x = 1} = φ, dove con φ = (1 + √5) / 2 si indica appunto il rapporto aureo.
Oltre a questa frazione continua, la sezione aurea può essere ottenuta mediante la serie radicale:
√(x + √(x + √(x + ⋯)))
con x = 1. Nel nostro formalismo si indica la relazione ricorsiva:
∁ⁿ{¬√x} = { Rₙ₋₁, √(x + D⁽ⁿ⁻¹⁾ Rₙ₋₁)}
per cui:
∁{¬√x} = {R₀, √(x + R₀)} = {0, √x}
∁²{¬√x} = {R₁, √(x + D¹R₁)} = {{0, √x}, √(x + D{0, √x})} = {{0, √x}, √(x + √x)}
e così via.
Risolvendo la relazione ricorsiva:
Rₙ = √(x + Rₙ₋₁)
per n infinito:
R₍∞₎² - R₍∞₎ - x = 0
si ha:
R₍∞₎ (x) = (1 + √(4x + 1)) / 2
da cui:
R₍∞₎ (1) = (1 + √5) / 2 = φ
e si conclude che:
D⁽∞⁾{¬√x} = φ ≈ 1,618
In conclusione, il percorso che abbiamo seguito, fin dalla definizione logico-insiemistica dei numeri naturali, mostra come la struttura numerica che usiamo quotidianamente possa essere pensata come una costruzione concettuale radicata in principi di complementarietà, negazione e coerenza logica. Ho già parlato in questa raccolta di partizioni complementari che generano insiemi logicamente coerenti e magari filosoficamente lo farò ancora, ma volevo presentare parte del loro lato più formale e logico-matematico: quello che li lega all'ente numerico, all'universo quantitativo. Ho proposto una sorta di viaggio che ci ha accompagnato, attraverso la costruzione di architetture teoriche iterative e auto-similari, dall'assenza di quantità alla sua presenza percorrendo via via insiemi numerici più complessi, dall'infinitesimo all'infinito numerabile degli interi e dei razionali, fino a quello non numerabile dei numeri reali. Non so se sono stato chiaro con questa formattazione orrenda o in quanti sono riusciti a seguirmi nella dissertazione sull'algebra delle partizioni complementari, ma ne ho parlato in questa raccolta e mi sembrava opportuno provare a fare l'esperimento di pubblicarne un assaggio. In fin dei conti è un argomento che giace sulla frontiera tra matematica e filosofia analitica.